对于复杂的极限问题，通常需要综合运用多种方法。以下是系统化的解题策略：

一、基础方法

直接代入法

适用于函数在极限点连续的情况，如 $lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$。

因式分解法（消去零因子）

通过因式分解化简表达式，消去导致分母为零的因子，例如 $lim_{x to 1} frac{x^2 - 1}{x - 1} = lim_{x to 1} （x + 1） = 2$。

有理化法

适用于含根式的0/0型极限，如 $lim_{x to 0} frac{sqrt{1 + x} - 1}{x} = lim_{x to 0} frac{x}{sqrt{1 + x} + 1} = frac{1}{2}$。

二、进阶技巧

等价无穷小代换

用简单无穷小替换复杂表达式，例如 $sin x sim x$（$x to 0$），$ln（1 + x） sim x$等。

洛必达法则

对0/0或∞/∞型未定式，通过求导数转化，如 $lim_{x to 0} frac{e^x - 1}{x} = lim_{x to 0} frac{e^x}{1} = 1$。

泰勒公式

将函数展开为多项式，简化计算。例如 $lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = lim_{x to 0} frac{x - frac{x^3}{6} + O（x^5）}{x} = 1$。

三、特殊场景

夹逼准则

当函数被两个极限相等的函数夹住时，中间函数的极限可确定，如 $lim_{x to 0} sin x = x$（夹在 $y = x$ 和 $y = -x$ 之间）。

单调有界准则

若函数在区间单调有界，则极限存在，例如数列 $lim_{n to infty} frac{1}{n} = 0$。

四、综合运用示例

对于复杂表达式 $lim_{x to 0} frac{sin x - x}{x^3}$，可按以下步骤求解：

等价无穷小代换：

$sin x sim x - frac{x^3}{6}$，代入后得 $lim_{x to 0} frac{x - frac{x^3}{6} - x}{x^3} = -frac{1}{6}$。

洛必达法则：

直接求导得 $lim_{x to 0} frac{cos x - 1}{3x^2} = lim_{x to 0} frac{-sin x}{6x} = -frac{1}{6}$。

注意事项

优先级排序：先尝试直接代入、因式分解等简单方法；若失败则考虑洛必达、泰勒等进阶技巧。

特殊函数：如指数函数、对数函数等，可结合泰勒展开或洛必达法则处理。

计算工具：复杂计算可借助数学软件（如MATLAB）验证结果。

通过以上方法组合运用，多数复杂极限问题可得到有效解决。