分数算式的简便运算需要结合分数的基本性质和运算定律，通过合理变形和组合来简化计算过程。以下是具体方法及示例：

一、分数乘法的简便运算

约分后计算

先将分子分母的公因数约去，再相乘。例如：

$$frac{3}{4} times frac{5}{7} = frac{3 times 5}{4 times 7} = frac{15}{28}$$

若分子分母有更大公因数，可进一步约分。

乘法结合律

通过调整计算顺序简化运算。例如：

$$frac{7}{8} times frac{5}{7} times frac{3}{11} = frac{5}{8} times frac{3}{11} = frac{15}{88}$$

这里先约去$frac{7}{8}$和$frac{5}{7}$的公因数7。

乘法分配律

利用分配律简化计算。例如：

$$frac{3}{4} times left( frac{5}{7} - frac{1}{7} right) = frac{3}{4} times frac{4}{7} = frac{3}{7}$$

通过合并括号内的分数减少计算量。

二、分数加减法的简便运算

加法交换律与结合律

重新排列加数顺序或组合同分母分数。例如：

$$frac{2}{3} + frac{3}{5} + frac{1}{3} + frac{1}{5} = left( frac{2}{3} + frac{1}{3} right) + left( frac{3}{5} + frac{1}{5} right) = 1 + frac{4}{5} = 1frac{4}{5}$$

这种方法可显著减少通分步骤。

减法性质

将减法转化为加法后进行简便计算。例如：

$$frac{5}{6} - frac{1}{2} = frac{5}{6} - frac{3}{6} = frac{2}{6} = frac{1}{3}$$

通过通分后直接相减。

三、其他技巧

通分与约分结合：

先通分再约分，或先约分再通分，选择更简便的路径。例如：

$$frac{1}{4} + frac{2}{3} = frac{3}{12} + frac{8}{12} = frac{11}{12}$$

若先约分：$frac{1}{4} = frac{3}{12}$，再相加更简洁。

特殊数列求和：利用平方差公式或公式化简。例如：

$$1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + n^2 = frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

适用于连续自然数平方和的快速计算。

通过以上方法，可以显著提高分数运算的效率。关键是根据具体题目灵活运用运算定律和性质，减少计算步骤。