数学中求最值的方法多种多样，需根据具体问题选择合适的方法。以下是常用方法及适用场景的总结：

一、代数方法

配方法

将函数转化为完全平方式，利用二次函数的性质求最值。例如，对于二次函数$y = x^2 + 4x + 5$，可配方为$y = （x+2）^2 + 1$，最小值为1。

判别式法

适用于可化为二次方程的函数，通过判别式$Delta geq 0$确定参数范围，进而求最值。例如，对于分式函数$y = frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$，可化为关于$x$的二次方程，利用判别式求出$y$的范围。

不等式法

- 基本不等式：

如$a^2 + b^2 geq 2ab$，适用于正数$a,b$。例如，求$y = x + frac{1}{x}$的最小值，利用基本不等式可得$y geq 2$（当且仅当$x=1$时取等号）。

- 柯西不等式：适用于向量内积形式的问题，如$（a^2 + b^2）（c^2 + d^2） geq （ac + bd）^2$。

换元法

通过代数代换简化函数形式，如三角换元（$x = costheta$）或参数换元（$t = x + 1$），将复杂函数转化为简单函数求最值。

二、几何方法

函数图像法

通过绘制函数图像，观察顶点或边界点确定最值。例如，二次函数$y = -x^2 + 4x - 5$的顶点为$（2, -1）$，最大值为-1。

数形结合法

将代数问题与几何图形结合，如直线与抛物线的位置关系，通过解析几何知识求最值。

三、导数方法

求导数并分析单调性

通过求导数$f'（x）$，判断函数在区间内的单调性，极值点即为最值点。例如，$y = x^3 - 3x^2 + 2$，导数为$y' = 3x^2 - 6x$，令$y'=0$求得极值点。

四、特殊函数性质

三角函数有界性

利用$sintheta in [-1,1]$，$costheta in [-1,1]$等性质求最值。例如，$y = Asintheta + Bcostheta$可化为$y = Rsin（theta + phi）$，最大值为$R$。

复数与向量方法

适用于高阶代数式，如利用复数的模长或向量的数量积求最值。

五、其他技巧

参数方程法：

将参数方程代入目标函数，转化为单变量最值问题。

对称性法：利用函数的对称轴或中心对称性简化计算。

总结

求最值时需结合具体问题选择方法：

代数函数优先考虑配方法、不等式法或导数法；

几何问题可用图像法或数形结合法；

特殊函数（如三角函数）利用其有界性；

复杂问题可尝试换元或参数方程法。

通过灵活运用这些方法，可高效解决最值问题。