基础数学中根式的求解方法可分为以下几类：

一、平方根的求解

完全平方数开方

对于完全平方数（如36、16），直接找出其平方根。例如：

$$sqrt{36} = 6 quad text{因为} quad 6^2 = 36$$

$$sqrt{16} = 4 quad text{因为} quad 4^2 = 16$$

非完全平方数化简

将非完全平方数分解为平方数与其他因数的乘积，再化简。例如：

$$sqrt{12} = sqrt{4 times 3} = sqrt{4} times sqrt{3} = 2sqrt{3}$$

$$sqrt{75} = sqrt{25 times 3} = 5sqrt{3}$$

二、高次根式的求解

分解质因数法

将被开方数分解为质因数的乘积，再提取平方因子。例如：

$$sqrt{72} = sqrt{2^3 times 3^2} = 6sqrt{2}$$

$$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$$

配方法

通过添加和减去相同的数，将表达式配成完全平方形式。例如：

$$sqrt{32} = sqrt{16 times 2} = 4sqrt{2}$$

$$sqrt{50} = sqrt{25 times 2} = 5sqrt{2}$$

三、根式的运算规则

乘除法则

- 同次根式相乘除：

$$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b} quad text{（如} sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6})$$

$$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}} quad text{（如} frac{sqrt{8}}{sqrt{2}} = sqrt{4} = 2)$$

- 异次根式需先化简为同次根式再运算

加减法则

只能合并同类根式（即被开方数相同的根式），例如：

$$2sqrt{3} + 3sqrt{3} = 5sqrt{3}$$

不同类根式需保留原样（如 $sqrt{2} + sqrt{3}$ 无法合并）

四、分母有理化

当分母含有根号时，通过分子分母同乘以共轭根式去除分母中的根号。例如：

$$frac{1}{sqrt{a}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{a} times sqrt{a}} = frac{sqrt{a}}{a} quad text{（如} frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2})$$

五、近似计算方法

对于复杂根式，可采用牛顿迭代法、二分法等数值方法近似计算，或使用计算器直接求值

总结

根式的求解需结合化简、运算规则及数值方法，熟练掌握因式分解、配方等技巧可提高效率。初学者建议从完全平方数和简单因数分解入手，逐步过渡到复杂表达式的处理。