投影的数学表达方式取决于具体的应用场景，以下是几种常见的数学表达形式：

一、向量投影

向量a在向量b上的投影

公式为：

$$text{proj}_{mathbf{b}} mathbf{a} = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{b}|^2} mathbf{b} = frac{|mathbf{a}| cdot |mathbf{b}| cdot costheta}{mathbf{b} cdot mathbf{b}} mathbf{b}$$

其中，$theta$ 是向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 之间的夹角。

向量a在向量b方向上的标量投影

公式为：

$$text{scalar proj}_{mathbf{b}} mathbf{a} = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{b}|} = |mathbf{a}| cdot costheta$$

表示向量 $mathbf{a}$ 在 $mathbf{b}$ 方向上的长度。

二、几何投影（如平行投影）

点在直线上的投影

设点 $P（x_1, y_1）$ 在直线 $y = mx + c$ 上的投影为 $P'（x', y'）$，则投影公式为：

$$x' = x_1 - frac{(y_1 - c)}{m^2 + 1} cdot m$$

$$y' = frac{m cdot x_1 + c}{m^2 + 1}$$

该公式通过垂直距离最小化原理推导得出。

平面图形在坐标轴上的投影

例如，点 $（a, b）$ 在 $x$ 轴上的投影为 $（a, 0）$，在 $y$ 轴上的投影为 $（0, b）$。

三、空间几何投影（如椭球面投影）

在工程学中，常用以下公式将三维坐标 $（L, B）$ 投影到平面直角坐标 $（X, Y）$：

$$X = F_1(L, B)$$

$$Y = F_2(L, B)$$

其中，$L$ 和 $B$ 是椭球面上某点的大地坐标，$F_1$ 和 $F_2$ 是具体的投影函数，通常与椭球参数相关。

四、其他常见场景

矩阵投影（线性代数）

矩阵 $A$ 在向量 $mathbf{v}$ 上的投影矩阵为：

$$P = frac{mathbf{v} mathbf{v}^T}{mathbf{v}^T mathbf{v}}$$

适用于高维空间中的数据降维。

射影几何

在射影平面上，点的投影满足齐次坐标方程，例如直线 $ax + by + c = 0$ 的投影方程为：

$$aX + bY = c'$$

其中 $（X, Y）$ 是投影后的坐标。

以上表达式覆盖了向量、几何图形及工程应用中的常见投影形式，具体使用时需结合实际问题选择合适的数学模型。