关于数学振荡阶段的描述，通常涉及二阶线性系统的动态行为。以下是关键内容的整理：

一、二阶线性系统的传递函数

对于形如

$$T_2 frac{d^2r(t)}{dt^2} + 2zeta T frac{dr(t)}{dt} + r(t) = r(t)$$

的振荡环节，其传递函数为：

$$G(S) = frac{C(S)}{R(S)} = frac{1}{T_2 S^2 + 2zeta T S + 1}$$

其中，$zeta$为阻尼比，$T$为时间常数。

二、RC振荡电路的数学表达

对于RC振荡电路，其微分方程为：

$$L frac{d^2U_c}{dt^2} + R frac{dU_c}{dt} + U_c = U_r$$

通过拉普拉斯变换，可得到特征方程：

$$s^2 + frac{R}{L}s + frac{1}{LC} = 0$$

设特征根为：

$$s = -frac{R}{2L} pm jomega_n$$

其中，$omega_n = frac{1}{sqrt{LC}}$为自然频率，$zeta = frac{R}{2L}$为阻尼比。

三、振荡阶段的数学描述

通解形式

根据特征根的性质，系统响应可表示为：

$$U_c(t) = e^{-frac{R}{2L}t} left( A cos(omega_d t) + B sin(omega_d t) right)$$

其中，$omega_d = omega_n sqrt{1-zeta^2}$为阻尼角频率，$A$和$B$由初始条件确定。

稳态与暂态

- 稳态：

当$t to infty$时，$e^{-frac{R}{2L}t} to 0$，系统达到稳态值$U_{c,infty} = frac{U_r}{1+zeta^2}$。

- 暂态：包含指数衰减项$e^{-frac{R}{2L}t}$，描述系统响应的动态过程。

四、相位特性

当$zeta = 0$时，系统为 纯谐振荡，相位滞后为$-90^circ$；

当$0 < zeta < 1$时，系统为 阻尼振荡，相位滞后为$-arccos（zeta）$；

当$zeta = 1$时，系统为 临界阻尼，无振荡（过冲后平稳）。

五、示例

对于$R=2Omega$，$L=1mu H$的RC电路，自然频率$omega_n = 100pi rad/s$，若$zeta = 0.7$，则阻尼角频率$omega_d = 60pi rad/s$，响应可具体计算为：

$$U_c(t) = e^{-t} left( A cos(60pi t) + B sin(60pi t) right)$$

以上内容综合了二阶系统理论及RC振荡电路的数学模型，涵盖振荡阶段的传递函数、微分方程、通解形式及相位特性。