数学极限分析是高等数学中的重要内容，主要研究函数在某一点或无穷远处的行为。以下是极限分析的常用方法和典型例题解析：

一、常用求极限方法

直接代入法

适用于函数在极限点处连续的情况。 *例题*：$lim_{x to 2} （3x^2 - 2x + 1） = 3（2）^2 - 2（2） + 1 = 9$

因式分解法（消去零因子）

适用于$frac{0}{0}$型不定式，通过因式分解约分后求极限。 *例题*：$lim_{x to 0} frac{x^2 - 4}{x - 2} = lim_{x to 0} frac{（x-2）（x+2）}{x-2} = lim_{x to 0} （x+2） = 2$

有理化法

适用于含根式的$frac{0}{0}$型极限，通过分子有理化化简后求值。 *例题*：$lim_{x to 0} frac{sqrt{1+x} - 1}{x} = lim_{x to 0} frac{（sqrt{1+x} - 1）（sqrt{1+x} + 1）}{x（sqrt{1+x} + 1）} = lim_{x to 0} frac{x}{x（sqrt{1+x} + 1）} = frac{1}{2}$

等价无穷小替换

适用于乘除运算中的无穷小量替换（如$sin x sim x$，$ln（1+x） sim x$等）。 *例题*：$lim_{x to 0} frac{sin 3x}{x} = lim_{x to 0} frac{3x}{x} = 3$

洛必达法则

适用于$0/0$型或$infty/infty$型不定式，通过求导后取极限。 *例题*：$lim_{x to 0} frac{e^x - 1}{x} = lim_{x to 0} frac{e^x}{1} = 1$

夹逼准则

适用于难以直接计算的数列或函数极限，通过夹逼定理确定极限值。 *例题*：$lim_{x to 0} x sin frac{1}{x} = 0$（夹逼于$-|x|$和$|x|$）

泰勒展开

适用于复杂函数的极限，通过展开到足够高阶近似计算。 *例题*：$lim_{x to 0} frac{sin x - x}{x^3} = lim_{x to 0} frac{x - frac{x^3}{6} + o（x^3） - x}{x^3} = -frac{1}{6}$

单调有界准则

适用于数列极限，通过证明数列单调有界确定极限。 *例题*：$lim_{n to infty} frac{n}{sqrt{n^2 + 1}} = 1$（单调有界数列）

二、典型例题解析

$lim_{x to infty} frac{ln x}{x}$

利用洛必达法则：$lim_{x to infty} frac{ln x}{x} = lim_{x to infty} frac{1/x}{1} = 0$

$lim_{x to 0} frac{e^x - 1 - x}{x^2}$

泰勒展开：$e^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + o（x^2）$，则$lim_{x to 0} frac{1 + x + frac{x^2}{2} - 1 - x}{x^2} = frac{1}{2}$

数列极限：$lim_{n