数学最大盈利问题怎么写
2025-05-19 23:30:52
星海幻梦
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数学最大盈利问题通常通过建立二次函数模型来解决，具体步骤如下：
一、核心步骤
建立利润函数
利润 = 单件利润 × 销售量。设销售单价为 $x$，进价为 $c$，销售量为 $y$，则利润函数 $y = （x - c） cdot y（x）$。例如，某商品进价18元，售价 $x$ 元时，销售量 $y = 30 - x$，利润函数为 $y = （x - 18）（30 - x）$。
确定函数形式
- 二次函数：
常见形式为 $y = ax^2 + bx + c$，通过配方法或顶点公式求最值。例如 $y = -2（x - 20）^2 + 980$，对称轴 $x = 20$，最大利润为980元。
- 一次函数：适用于涨价或降价场景，如 $y = （80 - 60 + x）（300 - 10x） = -10x^2 + 100x + 6000$，通过顶点公式求最值。
求最值
- 二次函数：
顶点坐标为 $（-frac{b}{2a}, f（-frac{b}{2a}））$。例如 $y = -2（x - 20）^2 + 980$，顶点为 $（20, 980）$，最大利润为980元。
- 一次函数：通过顶点公式或对称轴求最值。例如 $y = -10（x - 5）^2 + 6250$，单价 $x = 65$ 元时，最大利润为6250元。
结合实际限制条件
需考虑售价范围、成本限制等。例如，某商品售价 $x$ 需满足 $18 leq x leq 30$，需在函数定义域内求最值。
二、典型题型示例
单次销售利润最大化
设售价为 $x$ 元，利润函数 $y = -x^2 + 70x - 800$，通过顶点公式求得 $x = 35$ 时，最大利润为225元。
多阶段利润规划
例如，某商品进价18元，售价 $x$ 元时，销售量 $y = 30 - x$，利润函数 $y = （x - 18）（30 - x）$，结合 $18 leq x leq 30$ 求最值。
复合条件优化
如涨价 $x$ 元时，销量减少 $10x$ 件，利润函数 $y = （80 - 60 + x）（300 - 10x）$，需在 $0 leq x leq 10$ 范围内求最大值。
三、注意事项
函数开口方向由 $a$ 决定，$a < 0$ 时开口向下，存在最大值；$a >
0$ 时开口向上，存在最小值。
实际问题中需结合题目条件筛选解，如利润非负、销量为整数等。
