离散数学tsr怎么计算
2025-05-19 23:58:14
彭老师
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在离散数学中，`tsr（R）` 表示关系 `R` 的 自反对称传递闭包（self-antisymmetric transitive closure）。这一运算在数据库、图论等领域有重要应用，主要用于确保关系的传递性和反对称性。以下是具体计算方法和性质说明：
一、定义与性质
自反对称传递闭包 ：在传递闭包 `ts（R）` 的基础上，再添加所有形如 `（a, a）` 的元组，以确保关系 `R` 是自反对称的。即：
$$
tsr(R) = t(R) cup { (a, a) mid (a, b) in R land b = a }
$$
性质
- 若 `R` 已经是自反的，则 `tsr（R） = t（R）`；
- 若 `R` 是对称的，则 `tsr（R）` 也是对称的；
- 闭包运算满足结合律，即 `ts（R） = t（s（R））`。
二、计算步骤
计算传递闭包 `t（R）`
通过反复应用传递性规则（若 `（a, b） in R` 且 `（b, c） in R`，则添加 `（a, c）`）或利用Warshall算法高效计算。
添加自反元
在传递闭包 `t（R）` 的基础上，添加所有形如 `（a, a）` 的元组，覆盖所有集合元素。
三、示例
设集合 `A = {1, 2, 3, 4}`，关系 `R = {（1, 2）, （2, 3）, （3, 4）}`：
计算传递闭包 `t（R）`
通过传递性规则可得：
$$
t(R) = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
$$
添加自反元
$$
tsr(R) = t(R) cup {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
$$
四、注意事项
若关系 `R` 已包含所有形如 `（a, a）` 的元组，则 `tsr（R） = t（R）`；
实际应用中，可通过矩阵运算高效计算传递闭包，再补充自反元。
以上方法综合了传递闭包和自反性的构建，确保最终关系满足自反对称传递性。
