高数的有界函数是什么
2025-05-22 15:01:34
王老师
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高数的有界函数是指在指定区间内，函数值被限制在有限范围内的函数。具体定义如下：
一、核心定义
存在上下界
若存在常数 $m$ 和 $M$，使得对定义域内任意 $x$ 都满足 $m leq f（x） leq M$，则称函数 $f（x）$ 在该区间有界。其中 $m$ 为下界，$M$ 为上界。
绝对值有界
若存在正数 $M$，使得对任意 $x$ 都满足 $|f（x）| leq M$，则函数 $f（x）$ 在该区间有界。此时 $M$ 和 $-M$ 分别为上界和下界。
二、典型示例
三角函数：
$sin x$、$cos x$、$arctan x$ 等在定义域内均有界。例如，$arctan x$ 的值域为 $（-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}）$。
无界函数：$tan x$ 在 $x to frac{pi}{2}$ 时趋于无穷大，因此无界。
三、重要性质
有界性是充分必要条件：
函数在区间有界当且仅当它同时有上界和下界。
闭区间与开区间：
有界性取决于定义域的类型，例如 $y = frac{1}{x}$ 在 $（0,1]$ 无上界，但在 $[0,1]$ 有界。
四、应用场景
有界函数在极限、连续性等定理中具有重要作用，例如零点定理要求函数在闭区间端点取值异号（即有界）。
