学习高等数学需要掌握以下核心定理和概念，这些内容是理解高等数学体系的基础：

一、函数极限与连续性

函数极限的定义与性质

- $lim_{x to x_0} f（x） = L$ 的 $varepsilon-delta$ 定义

- 极限存在的充要条件是左右极限相等

- 无穷小与无穷大的性质

连续函数的性质

- 连续函数在闭区间上存在最大值和最小值（最值定理）

- 连续函数介值定理：若 $f（a） leq y leq f（b）$，则存在 $c in （a, b）$ 使得 $f（c） = y$

- 有界性定理：有界数列不一定收敛，但收敛数列一定有界

二、导数与微分

导数的定义与几何意义

- 导数 $f'（x） = lim_{h to 0} frac{f（x+h） - f（x）}{h}$

- 切线方程与极值点的判定（费马定理）

微分与泰勒公式

- 微分公式 $dy = f'（x） , dx$

- 泰勒展开式：$f（x） = f（a） + f'（a）（x-a） + frac{f''（a）}{2!}（x-a）^2 + cdots$

- 马克劳林展开式（$a=0$）

三、中值定理与导数应用

罗尔定理：

若 $f（a） = f（b）$，则存在 $c in （a, b）$ 使得 $f'（c） = 0$

拉格朗日中值定理：

若 $f$ 连续，$g$ 可导，则存在 $c in （a, b）$ 使得

$$frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = frac{f'(c)}{g'(c)}$$

柯西中值定理：

若 $f$ 和 $g$ 连续，$g' neq 0$，则存在 $c in （a, b）$ 使得

$$frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = frac{f'(c)}{g'(c)}$$

洛必达法则：

适用于 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型未定式，公式为

$$lim_{x to a} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x to a} frac{f'(x)}{g'(x)}$$

四、数列极限与级数

数列极限的定理

- 极限唯一性：数列不能同时收敛于两个不同值

- 收敛数列有界性：收敛数列必有界，但有界数列不一定收敛

级数收敛性

- 正项级数的比较判别法、比值判别法

- 交错级数的莱布尼茨判别法

五、多元函数微积分（选修内容）

偏导数与梯度

- 偏导数定义与计算

- 梯度与方向导数

多元中值定理

- 拉格朗日中值定理的推广（Hessian矩阵）

积分学

- 二重积分的计算与估值定理

- 重积分的换元法与分部积分法

六、常考定理总结

零点定理：

连续函数在区间端点值异号则存在零点

最值定理：闭区间上连续函数有最大值和最小值

柯西中值定理：函数导数比值的等式形式

积分中值定理：定积分的几何意义与估值定理

建议结合教材和习题系统学习，重点掌握定理的证明思路与典型应用。考研数学中，这些定理的结合运用是解题的关键[3